Han ble født som Antoine-Marie Grab den 3. februar 1930 i Schwyz i bispedømmet Chur i Sveits og vokste opp i Genève. I 1949 trådte han inn i benediktinerklosteret i Einsiedeln og tok ordensnavnet Amédée (Amadeus). Han ble presteviet den 12. juni 1954, og i de følgende tiårene underviste han i Sveits og Italia. Fra 1979 til 1983 var han sekretær for den sveitsiske benediktinerkongregasjonen. Han ble utnevnt av pave Johannes Paul II til titularbiskop og hjelpebiskop av Lausanne, Genève og Fribourg den 3. februar 1987, og han ble bispeviet den 12. april 1987. Han ble utnevnt til biskop av Lausanne, Genève og Fribourg den 9. november 1995 og tok bispedømmet kanonisk i besittelse den 26. november. Hans valgspråk er Humanitate et Caritate, «I menneskelighet og kjærlighet». Han er perfekt tospråklig (tysk og fransk).
Den 1. januar 1998 overtok han som formann i den sveitsiske bispekonferansen. Den 9. juni 1998 valgte domkapitlet i Chur ham til ny biskop fra en liste på tre kandidater de hadde fått fra Roma, og den 12. juni ble valget stadfestet av pave Johannes Paul II. Han tok sitt nye bispedømme kanonisk i besittelse den 23. august 1998.
Som biskop av Chur ble han dermed etterfølger til den omstridte biskop Wolfgang Haas, som i desember 1997 var blitt utnevnt til erkebiskop av det nyopprettede erkebispedømmet Vaduz i Liechtenstein. Alle i domkapitlet hadde uttalt seg for at valget av ny biskop måtte gjøre det mulig med «en ny start» i Chur, og det som talte for biskop Grab, var fremfor alt hans erfaring, som han hadde samlet seg på den «relativt vanskelige posten» i det kalvinistiske Genève. Grab regnes som en åpen person med evne til dialog, en mann som ikke bare lytter, men også går inn på argumentene. Han regnes også som en forsoningens mann med diplomatisk dyktighet, og alt dette er egenskaper han har hatt god bruk for i arbeidet med å lege sårene i det splittede bispedømmet.
Den 18. april 2001 ble han valgt til ny president for Rådet for europeiske bispekonferanser (CCEE) på rådets plenumsmøte i Strasbourg. Han erstattet erkebiskopen av Praha, kardinal Miloslav Vlk, som har sittet i åtte år og i henhold til statuttene ikke kan gjenvelges. CCEE ble opprettet i 1971 for å lette samarbeidet mellom de 34 presidentene for de nasjonale bispekonferansene i Europa og har sitt sekretariat i Sankt Gallen i Sveits. De offisielle statuttene for organisasjonen ble godkjent av pave Johannes Paul II i 1995. CCEEs tre første valgte presidenter var kardinalene Roger Etchegaray (1971-79), Basil Hume (1979-87) og Carlo Maria Martini (1987-93). Den fjerde presidenten, kardinal Miloslav Vlk (1993-2001), ble utnevnt av pave Johannes Paul II personlig.