Født: Han ble født torsdag den 3. august 1905 i Warth nær landsbyen Rabenstein ved Pielach i bispedømmet Sankt Pölten i Nedre Østerrike. Han var den eldste av ni barn i en bondefamilie. Etter farens tidlige død giftet moren seg på nytt og fikk navnet Kaiser. Mellom 1912 og 1918 gikk Franz på folkeskolen i Kirchberg ved Pielach, og deretter gikk han mellom 1919 og 1927 på benediktinernes stiftsgymnas i Melk. Den 14. juni 1927 tok han eksamen artium der med gode resultater. Hans medstudenter kalte ham "Rex" (konge), ikke bare på grunn av etternavnet. Fra høsten 1927 studerte han filosofi og teologi på det pavelige universitet "Gregoriana" i Roma. Samtidig studerte han under p. Messina på Det pavelige Bibelinstitutt, hvor han spesialiserte seg i gammelpersisk religion og språk. Den 9. juli 1930 ble han doktor i filosofi. I løpet av livet lærte den vitebegjærlige unge mannen seg hele ti språk.
Prest: Han ble presteviet den 29. oktober 1933 i Roma. Han ble doktor i teologi den 21. januar 1936, og mellom 1936 og 1937 studerte han videre ved det katolske universitetet i Lille i Frankrike. Mellom 1934 og 1937 arbeidet han pastoralt i bispedømmet Sankt Pölten: Kapellan i Altpölla, Neuhofen an der Ybbs, St. Valentin og Scheibbs. Fra 1938 var han hjelpeprest ved domkirken i Sankt Pölten og ungdomssjelesørger.
Mellom 1945 og 1948 var han professor i religion ved kollegiet i Krems ved Donau samtidig som han habiliterte ved universitetet i Wien som privatdosent for religionsvitenskap. Mellom 1948 og 1952 var han professor i moralfilosofi ved Det teologiske fakultet ved universitetet i Salzburg.
Biskop: Den 3. juli 1952 utnevnte pave Pius XII (1939-58) ham til koadjutor-biskop med etterfølgelsesrett av hjembispedømmet Sankt Pölten og titularbiskop av Liviade. Han ble bispeviet den 31. august 1952 av biskop Michael Memelauer av Sankt Pölten. Høsten 1952 valgte de østerrikske biskopene ham til referent for ungdomsspørsmål. Etter at kardinal Innitzer døde den 9. oktober 1955 ble König utnevnt til erkebiskop av Wien den 10. mai 1956. Den 17. juni ble han innsatt i sitt embete i Stefansdomen i Wien. Som motto valgte han "Veritatem facientes in caritate" (Å gjøre sannheten i kjærlighet).
Han var også ordinarius for katolikker av orientalske riter i Østerrike. Den 29. juni 1958 mottok han palliet. Han var konservativ, men skjønte nødvendigheten av at Den katolske kirke utviklet seg videre. Han løste Kirken fra den historisk betingede omfavnelsen fra det konservative kristeligdemokratiske partiet og erklærte at Kirken var for "alle katolikker i alle partier". Han sørget for forsoning med det sosialdemokratiske partiet, noe som senere ga ham tilnavnet "Den røde kardinal".
Kardinal: Den hellige pave Johannes XXIII (1958-63) kreerte ham i sitt første konsistorium den 15. desember 1958 til kardinalprest av Sant'Eusebio. Han er den eneste som fortsatt (februar 2002) lever av de kardinalene pave Johannes kreerte. Han ble den 21. februar 1959 militærvikar for Østerrike, en post han fratrådte i 1969. Den 13. februar 1960 var han på vei til den salige kardinal Aloisius Stepanics begravelse i Zagreb da han ble utsatt for en bilulykke. Kardinalen og hans seremonimester, den senere hjelpebiskop Krätzl, ble hardt skadet, mens sjåføren ble drept.
Som første kardinal besøkte han den 27. november 1961 den økumeniske patriark Athenagoras I av Konstantinopel i Phanar i Istanbul. I 1962 var han medlem av den sentrale forberedelseskommisjonen til Det annet Vatikankonsil (1962-65). Da konsilet trådte sammen den 11. oktober 1962, ble König innvalgt i den teologiske kommisjonen. Den 8. mai 1963 ble han utnevnt til æresdoktor ved universitetet i Wien. Han deltok på konklavet i juni 1963 som valgte pave Paul VI (1963-78). Han forsøkte forgjeves å forhindre fordømmelsen av "kunstige" prevensjonsmidler.
Den 4. november 1964 grunnla han instituttet "Pro Oriente" for samarbeid med østkirkene, og han ledet det til 1985. Da Sekretariatet for Ikke-troende ble opprettet den 6. april 1965, ble kardinal König utnevnt til dets president. Han gikk av fra denne posten den 27. juni 1980. I egenskap av sekretariatets president ble han den 21. mai 1968 utnevnt til medlem av Kongregasjonen for verdensmisjon. Den 17. desember 1968 ble han æresborger av Wien. Fra 1969 til 1972 var han president for Det katolske verdensbibelselskapet, og den 27. november 1969 tok han et betydningsfullt økumenisk skritt da han hevet interdiktet over St. Salvator-kapellet i sentrum av Wien, som gammelkatolikkene brukte til sine gudstjenester.
Mellom 1969 og 1971 holdt erkebiskop König en stiftssynode i Wien. I 1972 ble han æresdoktor ved universitetet i Salzburg.
Han deltok ved den første ordinære bispesynoden i Vatikanet høsten 1967, den første ekstraordinære bispesynoden høsten 1969, den andre ordinære bispesynoden høsten 1971, den tredje ordinære bispesynoden høsten 1974 (som en av tre presidentdelegater) og den fjerde ordinære bispesynoden høsten 1977. Den 2. februar 1979 ble han æresborger av Sankt Pölten. Han deltok i det første plenumsmøtet i kardinalkollegiet høsten 1979 og ved den andre ekstraordinære bispesynoden høsten 1985 som spesialgjest.
Han deltok i konklavene i august og oktober 1978, og begge ganger var han en aktuell pavekandidat. I første avstemming i det første konklavet fikk han 8 stemmer, men patriark Albino Luciani av Venezia ble som kjent valgt og var pave Johannes Paul I i 33 dager. Før det andre konklavet var det trolig han som ga nådestøtet til den erkekonservative kardinal Siri av Genovas drøm om å bli pave. I et intervju ble han spurt om kardinal Siri, hvis han ble valgt til pave, ville komme til å gjeninnføre den store triumferende og praktfulle innsettelsesseremonien. König svarte: "Nei, han ville ha en enkel og ydmyk seremoni på Petersplassen, men etterpå ville han helt privat ha en fantastisk kroning med alle sine venner til stede og skyer av røkelse over hele huset."
Ved det andre konklavet innså kardinalene raskt at de måtte se seg om etter en ikke-italiener, og kardinal König sto frem som den mest sannsynlige kandidaten. Men han gjorde det klart at han ikke ville akseptere et valg, og han foreslo at de som hadde stemt på ham, i stedet skulle gi sin støtte til hans venn Wojtyla. Dermed ble Karol Wojtyla valgt til pave Johannes Paul II.
Ved sin 75-årsdag i 1980 søkte han i henhold til kirkeretten om avskjed som erkebiskop, men paven tillot ham bare å gå av som president for Sekretariatet for Ikke-troende. I september 1983 mottok han paven i Wien. Først den 16. september 1985 gikk han av som erkebiskop av Wien, over åtti år gammel. Hans etterfølger ble i 1986 skandalekardinalen Hans H. Groër OSB, som i 1995 ble erstattet av kardinal Christoph Schönborn OP. Den 6. oktober 1985 overtok kardinal König som president for Pax Christi International, en stilling han hadde til 26. mai 1990. Den 17. november 1988 ble han utnevnt til protektor for stiftelsen Pro Oriente.
Neste konklave: Kardinal König mistet retten til å delta i det neste konklavet da han fylte 80 år den 3. august 1985.
Død: Kardinal König døde klokken tre om morgenen lørdag den 13. mars 2004. Han ble 98 år gammel og var kardinalkollegiets nest eldste medlem (etter kardinal Corrado Bafile), og den eneste gjenlevende av de kardinalene som ble kreert av den hellige pave Johannes XXIII (15. desember 1958). Han var like åndsfrisk og aktiv til det siste. Han var ikke lett å sette i en bås - på den ene side ble han regnet som "liberal", mens han på den annen side var en nær venn av Opus Dei.